以我的觀點，數學是以基本元件來構築事物、表達概念。而數學家藉由數，嘗試構築每一件事物、表達每一個概念，拼湊出世界的全貌。比如位置、形狀、關係、轉換、遞迴、極限、比較、排列、正反、假設，這些東西都是數。又比如有、無、聚、散、疏、密、盈、虧、彎、直、交、錯、動、靜，這些東西也都是數。與物體的行為有關的數，就是物理；與物質性質變化有關的數，就是化學；與生命運作有關的數，就是生物學。繼續細分下去的話，我們所知的各種東西，其實皆可說是數。

在數當中，可以用數量來表示的，便可以計量。像是情緒、風格、謀略，難以用數量來表示，也就難以計量，甚至不可計量。像是動作、旋律、次序，可以部分地或完全地用數量表示，便得以計量。計算學是以數量來構築事物、表達概念。而計算學家藉由數量，嘗試量度各種事物、各種概念，掌握其確切的程度與層次。

程式解題是很雜亂的一門知識，茲分類為以下五項：智力思考、數學、計算學（資料結構、演算法）、計算機操作基礎（程式語言、計算機概論）、計算機操作實務（程式設計技巧）。

不同領域的人對於程式解題會有不同期待。參與演算法競賽的學生，期望加強智力思考、數學、計算學等能力。業界的程式設計師，期望加強計算機操作理論、計算機操作實務等能力。

這五項環環相扣，但以個人經驗，這五項可以分別學習。

一、智力思考：藉由智力測驗問題、益智遊戲（如數獨、孔明棋、倉庫番）、數學科普書等等，可以活絡大腦思路，培養觀察問題與分析問題的能力。

二、數學：從學校教科書可以學到很多數學概念、數學方法、甚至是數學公式，套用在問題上面來解決問題。

三、計算學：從學校教科書和網路上的資源，可以學到很多計算方法，套用在問題上面來解決問題。

四、計算機操作基礎：從程式語言的書籍（C++ Primer、Effective C++、程式設計師的自我修養）、計算機概論等書中學習。

五、計算機操作實務：從open source與其他人寫的程式碼中學習一些寫程式的原則以及漂亮的寫法。

給想嘗試程式解題的人作為參考。

常常有人在討論區問這種問題。通常也不太有人回答。

一個從事程式設計的人，必須保證自己寫的每一行程式碼都是安全正確的。這跟如何解題沒有關係，只跟這個人對程式語言的熟悉程度、跟這個人寫程式的態度有關係。如果沒有能力看出自己的程式為什麼會錯，還需要別人幫忙找錯，那麼這種人就不太適合開發程式了──自己開發出來的程式，竟然自己都不知道為什麼會錯，那誰還會期望這個人能夠寫出正確的程式呢？

大多數的時候，自己的程式被判定成Wrong Answer、Runtime Error，是因為誤用了程式語言而造成的。初學者容易犯錯，當然也需要有經驗的人從旁指導，但是千萬不可把「我得找個人從旁指導我」視為理所當然。訓練程式設計，其實就是訓練自己去了解程式語言、訓練自己有能力搞定一支錯誤的程式、訓練自己有能力寫出正確的程式。每當遇到Wrong Answer、Runtime Error的時候，首先要看看自己的程式有沒有語法上的誤用、邏輯上的謬誤，看看程式碼是否如自己所想般運作，然後推測錯誤、修正錯誤。這才是一個開發程式的人應有的能力，或說是態度。

要找出程式的錯誤，方法很簡單：確認每一行程式碼的計算結果都是正確的。如果是迴圈和遞迴，那就要多加費心，儘管程式碼只有短短一行兩行，還是要確定迴圈和遞迴的每個步驟都是正確的。另外，內建函式庫要多加注意，因為這是自己最不能掌控的東西，無法預期它們會跑出自己想要的結果；在使用內建函式庫之前，最好花時間翻書查網頁熟悉一下，並且實際寫幾行測試用的程式碼來試試它們的功能。

現下的IDE提供了強大的debug功能，可以逐行觀看程式碼的執行結果，讓使用者能夠輕鬆的判斷每一行程式碼是不是正確的。如果覺得IDE的debug工具太難用，也可以直接採用最原始的printf/cout方式（記得flush），適當地註解程式碼，並且把每一行的執行結果印出來看看，就知道哪裡有錯了。

等這些都確定沒有錯之後，再來想想看是不是有一些特殊的例子沒有考慮到，演算法正不正確。通常這個時候，跟自己志同道合的人，就會有興趣一起來討論「如何解題」了。

關於最大流問題的演算法，網路上資料很多，名稱天花亂墜，內容眾說紛紜，看著看著都糊塗了。

我手邊有兩本談到網路流的書：

Introduction to Algorithms [CLRS]

Network Flows: Theory, Algorithms and Applications [AMO]

就拿這兩本書進行整理。

首先是CLRS的部份，讀者可以隱約發現最大流問題的演算法，在這本書中被分類成兩種主要的類型，一種是以Ford-Fulkerson演算法為基礎的擴充路徑類型，另一種是以Push-Relabel演算法為基礎的預流推進＋高度標號類型。

1. Ford-Fulkerson演算法：不斷找擴充路徑。時間複雜度O(EF)，這是假設找一次擴充路徑需時O(E)的情況下。F是最大流流量。

2. Edmonds-Karp演算法：不斷找最短擴充路徑。注意到實作的時候，是用O(VE)次BFS找擴充路徑，資料結構必須是adjaency lists，BFS才會是O(E)，總時間複雜度才會是O(VEE)。如果資料結構是adjacency matrix的時候，BFS其實是O(VV)，做不出理論上的時間複雜度。

3. Push-Relabel演算法：每個點都有高度標號，push和relabel的順序隨意。時間複雜度O(VVE)，受限於push的總次數，至於push的次數受限於relabel的次數。

4. Relabel-to-Front演算法：加上discharge的概念，然後以插隊的方式進行discharge。時間複雜度O(VVV)，是用詭異的均攤分析算出來的。

（註記：其實只要是用了discharge的演算法，只要照著admissible network之拓樸順序discharge，基本上都會是O(VVV)。）

接著是AMO所提到的多項式時間演算法。這本書的觀點與CLRS不同，他先介紹最短距離標號的概念，然後任何一個演算法套上最短距離標號就會變快。

（註記：最短距離標號其實就是一種高度標號。）

1. Capacity Scaling 演算法：對管線容量使用scaling method，分成logC個階段，每階段最多可以擴充E大小的流量，擴充流量時套用最慢的Ford-Fulkerson演算法，就可以達到 O(EElogC)的時間複雜度了。如果套上最短距離標號，可以加速到O(VElogC)。

2. Shortest Augmenting Path演算法：其實就是Edmonds-Karp演算法，時間複雜度O(VEE)。如果套上最短距離標號，可以加速到O(VVE)。套上最短距離標號後的結果，其實可以看做是Push-Relabel演算法的一種實作方式，實作的方式是在admissible network上面以DFS順序進行push，找不到路徑而要回溯時，就做relabel。時間複雜度等於Push-Relabel演算法的時間複雜度 O(VVE)。

（註記：中文網路上把這演算法說得有夠厲害。真是奇怪。）

3. Distance Labels and Layered Networks章節：其實就是網路上流傳的Dinic演算法。分層圖其實就是最短距離標號。這個演算法跟Edmonds-Karp演算法的思路一樣，只不過它是一口氣找完所有的最短擴充路徑（即是blocking flow），然後一口氣擴充，如此反覆做O(V)次即得最大流。

實作時要注意到，每階段會有O(E)條最短擴充路徑，必須用O(V)時間找到一條擴充路徑，如此一來找blocking flow才是O(VE)，整個演算法才是O(VVE)。DFS和BFS再怎麼厲害都是O(VV)或是O(E)，要達到O(V)就不能使用DFS和BFS來找擴充路徑，必須妥善利用分層圖的特性，建立適當的資料結構來找擴充路徑。

4. Generic Preflow-Push演算法：就是CLRS的Push-Relabel演算法。

5. FIFO Preflow-Push 演算法：其實就是網路上流傳的Goldberg-Tarjan演算法。實作時用一個queue記錄overflowing vertex，照順序一直做discharge就可以了。時間複雜度O(VVV)。這個演算法在CLRS的節末證明題中有出現，只是沒給出名稱。

6. Highest-Label Preflow-Push演算法：最高點做discharge，利用特別的方式記錄最高點，以及特別的discharge方式，時間複雜度可以達到O(V*V*sqrtE)，在前面幾個演算法當中，理論上速度最快的一個。

（註記：使用一般的priority queue來排序高度，不照著書上寫的方式做，時間複雜度是O(VVV)。）

7. Excess Scaling演算法：有興趣的自己看吧。

之前上網收集了一些關於視網膜保健的資料，在這裡跟大家分享一下心得。

視網膜是眼球內壁上的一層膜，上面有許多視覺神經。進入眼睛的光線，會照到視網膜上面，經由神經將光線訊號傳至大腦中，形成視覺。如果視網膜受損，受損的地方無法傳遞光線訊號，就失去了對應的視覺。視網膜一旦損壞，一般認為是不會恢復再生的，目前也沒有手術能夠填補或移植視網膜。這意味著視網膜一旦損壞，終生都將失去相對應的視覺。

經常以強光照射視網膜，容易造成視網膜損傷，例如直接看太陽、長時間看電腦螢幕等等。眼球變形（如高度近視者）或者眼壓太高（如用眼過度者），視網膜也很容易因為受到壓迫而損傷。像我們電腦工程師，長期暴露在螢幕光線下，又加上用眼過度，視網膜就會比一般人更容易受損。

要保護視網膜，可以攝取葉黃素。視網膜囤積著大量的葉黃素，會吸收藍光（日光、電腦螢幕光都有），降低光線對視網膜的傷害。另外葉黃素還可以減緩視網膜退化，加強視覺效果，是保護視網膜不可或缺的營養素。

葉黃素無法由人體合成，必須由食物當中攝取（例如甘藍菜、菠菜）。如果覺得自己攝取量不足，市面上有賣葉黃素膠囊，價格便宜，每天吞一顆，可以保障視網膜的健康。葉黃素膠囊可以說是電腦工程師不得不知道的好東西。

要保護視網膜，另一個選擇是吃枸杞，枸杞含大量玉米黃素，是葉黃素的異構體，功能與葉黃素差不多。這裡所說的枸杞，指的是枸杞的果實「枸杞子」，紅色一顆，如小指指甲般大，曬乾後外形如同葡萄乾，中藥店或菜市場就可以買到，價格便宜可以一次買一大包。枸杞受潮濕容易變質發霉，買來後最好放入冰箱冷藏，再不然則以密封袋罐裝好，保存得當可以放上一年半載。簡便的枸杞食用方式，是一日取30顆左右的枸杞，以熱水沖泡後當一杯茶喝，茶水會有微微紅黃色，喝起來有微微甜味，至於枸杞果粒可以不吃，有人說吃過量容易上火。由於枸杞在種植過程中都有添加農藥，所以在沖泡前最好用水浸泡沖洗一下，切勿久泡，以免營養流失。

網友迴響

我個人的經驗是：山桑子和黑醋栗市面上都有賣膠囊，據說可以保護眼睛。

而決明子可以泡成茶，據說也有保健視力的功效，而且比較便宜，只是不能喝太多就是了。