內積與外積

電腦做運算時，常會有浮點數誤差的問題。為避免浮點數誤差的問題，用電腦計算幾何問題時，會採用不同於一般數學運算時所用的公式和定理。

內積（inner product、dot product）、外積（outer product、cross product）這兩個運算只用了加法和乘法，而不包括除法，故能有效的避免除法所產生的浮點數誤差。內積與外積有許多很有用的特性。大部分的幾何問題，都可以用內積與外積來計算答案。

此處僅作簡單介紹。不失一般性，以下都用二維空間當作範例。

資料結構

內積與外積是向量運算，所以得設計一個向量的資料結構。

struct Vector {int x, y;}; // 二維向量的資料結構 // 內積運算 int dot(Vector& v1, Vector& v2) { return v1.x * v2.x + v1.y * v2.y; // 沒有除法，儘量避免誤差。 } // 外積運算，回傳純量（除去方向） int cross(Vector& v1, Vector& v2) { return v1.x * v2.y - v1.y * v2.x; // 沒有除法，儘量避免誤差。 }

向量資料結構擁有一個座標，並擁有一支內積函式與一支外積函式。

兩個向量做內積的結果是一個純量。兩個向量做外積的結果為一個向量，然而我們通常只會用到純量部份，所以讓外積函式的回傳值為純量。

內積、外積跟長度的關係

內積後取絕對值，求得的是投影量，再除以投影標的的單位向量，則得到投影長度。

外積後取絕對值，求得的是平行四邊形的面積量，再除以底的單位向量，則得到高。

struct Point {double x, y;}; // 點的資料結構 typedef Point Vector; // 向量的資料結構，和點一樣 // 內積運算 double dot(Vector& v1, Vector& v2) { return v1.x * v2.x + v1.y * v2.y; } // 外積運算，回傳純量（去除方向） double cross(Vector& v1, Vector& v2) { return v1.x * v2.y - v1.y * v2.x; } // 向量的長度 double length(Vector& v) { return sqrt(v1.x * v1.x + v2.y * v2.y); // return sqrt(dot(v, v)); } void print_d1_and_d2() { Point p, p1, p2; Vector v1 = p1 - p, v2 = p2 - p; cout << "d1:" << fabs(dot(v1, v2)) / length(v1); cout << "d2:" << fabs(cross(v1, v2)) / length(v1); }

內積、外積跟角度的關係

void print_θ() { Point p, p1, p2; Vector v1 = p1 - p, v2 = p2 - p; double l1 = length(v1), l2 = length(v2); cout << "cos(θ):" << dot(v1, v2) / l1 / l2; cout << "sin(θ):" << cross(v1, v2) / l1 / l2; cout << "θ:" << acos(dot(v1, v2) / l1 / l2); // [0, π] cout << "θ:" << asin(cross(v1, v2) / l1 / l2); // [-π/2, π/2] }

注意到acos與asin的回傳值，回傳的結果是弳度量（radian）而非度度量（grade），而且回傳值的範圍也不同。一般都以內積與acos求得介於0˚到180˚之間的夾角大小。

內積與向量夾角

利用內積的性質，可以粗略判斷夾角大小：內積大於0時，兩向量夾角小於90˚；等於0時，夾角等於90˚；小於零時，夾角大於90˚且小於180˚。

外積與向量旋轉

外積大於0時，兩向量前後順序為逆時針順序（在180˚之內）；等於0時，兩向量平行，也就是指夾角等於0˚或180˚；小於0時，兩向量前後順序為順時針順序（在180˚之內）。