Series(Under Construction!)

Series

「級數」。無限多個數字相加。無窮數列求和。

數學家喜歡討論數字擁有特定規律的級數。

Convergence

1/e^(x^2) sqrt(π)
1/x       ln(x) 發散
1/(x^2)   pi^2 / 6  (離散版本)
1/x!      e         (離散版本)

Fixed Point

級數(連分數)可以視作不動點遞推。如果級數收斂,得到不動點。【函數的數線表示法】

Power Series(Under Construction!)

Power Series(Sequence to xⁿ)

(2 -5 1 0 4)  <--->  2x⁰ - 5x¹ + 1x² + 0x³ + 4x⁴
(a₀ a₁ a₂ a₃ a₄)  <--->  a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴

數列與冪級數(多項式)互相轉換!

數列加法與減法=多項式加法與減法。

數列加性摺積與反加性摺積=多項式乘法與除法。

快速演算法是傅立葉轉換、數論轉換。請參考本站文件「Circular Convolution」。

Laurent Series推廣成雙向延伸。Christol's Theorem再推廣成有限域。

Dirichlet Series(Sequence to nˣ)

(2 -5 1 0 4)  <--->  2⋅0ˣ - 5⋅1ˣ + 1⋅2ˣ + 0⋅3ˣ + 4⋅4ˣ
(a₀ a₁ a₂ a₃ a₄)  <--->  a₀0ˣ + a₁1ˣ + a₂2ˣ + a₃3ˣ + a₄4ˣ

數列與Dirichlet級數互相轉換!

數列加法與減法 = Dirichlet級數加法與減法。

數列乘性摺積與反乘性摺積=Dirichlet級數乘法與除法。

快速演算法也許是篩法。

https://www.cnblogs.com/zzqsblog/p/5461392.html

Continued Fraction

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_continued_fraction_formula
https://math.temple.edu/~yury/calendar/node2.html

冪級數是正向加乘,連分數是反向減除。

冪級數與連分數一體兩面,強者歐拉找出了關係式。

演算法是Horner's Rule。

Taylor Series(Under Construction!)

Taylor Series

一個函數表示成(x-a)的Power Series,求得各階導數,便得到泰勒展開式的係數。

https://www.quora.com/Is-there-a-simple-proof-for-the-Taylor-Series

公式源自泰勒展開式。當取樣間距Δx小於1、接近0,後續項次迅速縮小,微不足道,無關緊要,於是捨去後續項次。

Taylor expansion
f(x+Δx) = f(x) / 0! + f′(x) Δx / 1! + f″(x) Δx² / 2! + ...
f(x-Δx) = f(x) / 0! - f′(x) Δx / 1! + f″(x) Δx² / 2! - ...

1st-order central derivative
f(x+Δx) - f(x-Δx) = 2 f′(x) Δx + ... ≈ 2 f′(x) Δx
f′(x) ≈ [f(x+Δx) - f(x-Δx)] / 2Δx

2nd-order central derivative
f(x+Δx) + f(x-Δx) = 2 f(x) + f″(x) Δx² + ... ≈ 2 f(x) + f″(x) Δx²
f″(x) ≈ [f(x+Δx) + f(x-Δx) - 2 f(x)] / Δx²

1st-order central integral 
f′(x) ≈ [f(x+Δx) - f(x-Δx)] / 2Δx
f(x) ≈ [∫f(x+Δx) - ∫f(x-Δx)] / 2Δx
f(x-Δx) ≈ [∫f(x) - ∫f(x-2Δx)] / 2Δx
∫f(x) ≈ ∫f(x-2Δx) + f(x-Δx) ⋅ 2Δx
∫f(x) ≈ [... + f(x-3Δx) + f(x-Δx)] ⋅ 2Δx
                    1               1          2
f(x + Δx) = f(x) +  ―― f'(x) Δx  +  —— f"(x) Δx  + ...
                    1!              2!

                    1               1
f(x + Δx) = f(x) +  ——   Jᵀ  Δx  +  —— Δxᵀ Hᵀ Δx + ...
                    1!              2!
  n
Δx projects onto basis, which is function gradient.
textbook use different definition. textbook use transpose.

Fourier Series

泰勒級數:多個螺旋線疊加。
傅立葉級數:多個圓形疊加。
不動函數:形狀不變。
特徵函數:簡諧運動?特徵值:圓形膨脹收縮。
Weierstrass function。處處連續處處不可微分。
Fabius function。處處平滑處處不可解析。
橫批:無窮遞迴。
Arithmetic Cosine Transform
Arithmetic Fourier Transform
首項不除以 sqrt(2)
idct(dct([0,1,2,3,4])) = [2,3,4,5,6]
idct(dct([1,2,3,4,5])) = [4,5,6,7,8]
idct(dct([2,3,4,5,6])) = [6,7,8,9,10]
fixed point of fourier transform: gauss, sqrt(1/|x|)
sqrt(1/|x|) + sqrt(1/|x+5|) ---> flat at [0,5]
http://fourierart.com/
http://mathworld.wolfram.com/Epicycloid.html
http://mathworld.wolfram.com/WattsCurve.html

Harmonic Series(Under Construction!)

Harmonic Series

Lamber W Function

無限次方變成轉圈。

Riemann ζ Function

Harmonic Series

解析延拓Analytic Continuation

Cesàro summation assigns Grandi's divergent series

http://mathworld.wolfram.com/Zeta-RegularizedProduct.html
https://www.quora.com/Why-is-the-regularized-product-of-all-prime-numbers-equal-to-4-pi-2

p-Adic Number(Under Construction!)

p-Adic Number

https://books.google.com.tw/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA241

多項式:以(x-a)當作底數,快速得知f(a)的數值。泰勒展開式。

多項式分式:同上,為了避免除以零,所以移項,(x-a)f(a)。

整數:以任意整數當作底數,可以知道整除效果。

分數:同上,分子與分母互質,分子減去多少可以整除。

Fractal(Under Construction!)

Fractal

Julia Set
Mandelbrot Set
Dragon Curve
Space-filling Curve
Turtle Graphics
L System
http://www.matrix67.com/blog/archives/6231
http://w2.mat.ucsb.edu/200C/spring_2015/
http://algorithmicbotany.org/papers/
http://www.joesfer.com/?p=46
http://chaos.coa.edu/
http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/ePaperOpenFileX.ashx?autoKey=360
http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Logistic_map_examples_small.gif
http://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory

Number Types(Under Construction!)

Number的分類

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_types_of_numbers

自然數   常數
整數    常數的加減         (加常數函數的解)
有理數   常數的加減乘除       (仿射函數的解)
代數數   常數的加減乘除冪根     (多項式函數的解)
拉馬努金和 常數的加減乘除冪根級微?  (解析函數的解?代數函數的解?)
超越數   常數的加減乘除冪根級微指對?(解析函數的解?代數函數的解?)
複數    常數的一切         (所有函數的解,可以為天下母)
加常數函數 變數
仿射函數  變數的加減
多項式函數 變數的加減乘
代數函數  變數的加減乘除冪根
解析函數  變數的加減乘除級      (多項式除法->級數)(多項式級數=積分)
黎曼函數  變數的加減乘除級微指    (尚不知是否為對稱系統,1+2+...=-1/12)
超越函數  變數的加減乘除冪根級微指對?(尚不知是否為封閉系統,π+e)
複變函數  變數的一切         (封閉系統,e^-iπ=-1)