Series(Under Construction!)

Series

「級數」。無限多個數字相加。無窮數列求和。

數學家喜歡討論數字擁有特定規律的級數。

Convergence

1/e^(x^2) sqrt(π)
1/x       ln(x) 發散
1/(x^2)   pi^2 / 6  (離散版本)
1/x!      e         (離散版本)

Fixed Point

級數(連分數)可以視作不動點遞推。如果級數收斂,得到不動點。【函數的數線表示法】

Power Series(Under Construction!)

Power Series(Sequence to xⁿ)

(2 -5 1 0 4)  <--->  2x⁰ - 5x¹ + 1x² + 0x³ + 4x⁴
(a₀ a₁ a₂ a₃ a₄)  <--->  a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴

數列與冪級數(多項式)互相轉換!

數列加法與減法=多項式加法與減法。

數列加性摺積與反加性摺積=多項式乘法與除法。

快速演算法是傅立葉轉換、數論轉換。請見本站文件「Circular Convolution」。

Laurent Series推廣成雙向延伸。Christol's Theorem再推廣成有限域。

Dirichlet Series(Sequence to nˣ)

(2 -5 1 0 4)  <--->  2⋅0ˣ - 5⋅1ˣ + 1⋅2ˣ + 0⋅3ˣ + 4⋅4ˣ
(a₀ a₁ a₂ a₃ a₄)  <--->  a₀0ˣ + a₁1ˣ + a₂2ˣ + a₃3ˣ + a₄4ˣ

數列與Dirichlet級數互相轉換!

數列加法與減法 = Dirichlet級數加法與減法。

數列乘性摺積與反乘性摺積=Dirichlet級數乘法與除法。

快速演算法也許是篩法。

https://www.cnblogs.com/zzqsblog/p/5461392.html

Continued Fraction

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_continued_fraction_formula
https://math.temple.edu/~yury/calendar/node2.html

冪級數是正向加乘,連分數是反向減除。

冪級數與連分數一體兩面,強者歐拉找出了關係式。

演算法是Horner's Rule。

Taylor Series(Under Construction!)

Taylor Series

一個函數表示成(x-a)的Power Series,求得各階導數,便得到泰勒展開式的係數。

https://www.quora.com/Is-there-a-simple-proof-for-the-Taylor-Series

公式源自泰勒展開式。當取樣間距Δx小於1、接近0,後續項次迅速縮小,微不足道,無關緊要,於是捨去後續項次。

Taylor expansion
f(x+Δx) = f(x) / 0! + f′(x) Δx / 1! + f″(x) Δx² / 2! + ...
f(x-Δx) = f(x) / 0! - f′(x) Δx / 1! + f″(x) Δx² / 2! - ...

1st-order central derivative
f(x+Δx) - f(x-Δx) = 2 f′(x) Δx + ... ≈ 2 f′(x) Δx
f′(x) ≈ [f(x+Δx) - f(x-Δx)] / 2Δx

2nd-order central derivative
f(x+Δx) + f(x-Δx) = 2 f(x) + f″(x) Δx² + ... ≈ 2 f(x) + f″(x) Δx²
f″(x) ≈ [f(x+Δx) + f(x-Δx) - 2 f(x)] / Δx²

1st-order central integral 
f′(x) ≈ [f(x+Δx) - f(x-Δx)] / 2Δx
f(x) ≈ [∫f(x+Δx) - ∫f(x-Δx)] / 2Δx
f(x-Δx) ≈ [∫f(x) - ∫f(x-2Δx)] / 2Δx
∫f(x) ≈ ∫f(x-2Δx) + f(x-Δx) ⋅ 2Δx
∫f(x) ≈ [... + f(x-3Δx) + f(x-Δx)] ⋅ 2Δx
                    1               1          2
f(x + Δx) = f(x) +  ―― f'(x) Δx  +  —— f"(x) Δx  + ...
                    1!              2!

                    1                1
f(x + Δx) = f(x) +  —— F'(x)ᵀ Δx  +  —— Δxᵀ F"(x)ᵀ Δx + ...
                    1!               2!

F'(x)ᵀ = J(x), F"(x)ᵀ = F"(x) = H(x)

Δxⁿ projects onto basis, which is function gradient.

延伸閱讀:Quadratic Function特殊用途

二階泰勒展開式是二次函數,矩陣是Hessian Matrix。根據Hessian Matrix是否正定,可以初步推測該處是極小值、反曲點、鞍點。

syms x y f = y*exp(x - 1) - x*log(y); taylor(f, [x, y], [1, 1], 'Order', 3)
g1 = Plot3D[y*Exp[x-1] - x*Log[y], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, PlotRange -> {-3, 3}, BoxRatios->{1,1,1}, ClippingStyle -> None, Mesh-> None, Axes->None, Boxed -> False, ColorFunction -> (ColorData["CherryTones"][Rescale[#3, {-2, 2}]] &)]; g2 = Plot3D[x + ((x-1)^2)/2 + ((y-1)^2)/2, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, PlotRange -> {-3, 3}, BoxRatios->{1,1,1}, ClippingStyle -> None, Mesh-> None, Axes->None, Boxed -> False, ColorFunction -> "SolarColors"];

延伸閱讀:Quadratic Form特殊用途

二次型除以x長度平方,換句話說,向量經過線性變換再投影回去,即是「虛擬特徵值Rayleigh Quotient」。

二次型開根號(必須是半正定矩陣),換句話說,向量經過線性變換的長度,形成「歐氏長度函數Euclidean Length Function」。

延伸閱讀:約束最佳化

constraint
http://www.gotoandplay.it/_articles/2005/08/advCharPhysics.php
http://www.gotoandplay.it/_articles/2005/08/advCharPhysics_p02.php

constraint, move toward dx, taylor expansion
c(x) >= 0
c(x + dx) ~= c(x) + c'(x) dot dx >= 0

Fourier Series

泰勒級數:多個螺旋線疊加。
傅立葉級數:多個圓形疊加。
不動函數:形狀不變。
特徵函數:簡諧運動?特徵值:圓形膨脹收縮。
Weierstrass function。處處連續處處不可微分。
Fabius function。處處平滑處處不可解析。
橫批:無窮遞迴。
Arithmetic Cosine Transform
Arithmetic Fourier Transform
首項不除以 sqrt(2)
idct(dct([0,1,2,3,4])) = [2,3,4,5,6]
idct(dct([1,2,3,4,5])) = [4,5,6,7,8]
idct(dct([2,3,4,5,6])) = [6,7,8,9,10]
fixed point of fourier transform: gauss, sqrt(1/|x|)
sqrt(1/|x|) + sqrt(1/|x+5|) ---> flat at [0,5]
http://fourierart.com/
http://mathworld.wolfram.com/Epicycloid.html
http://mathworld.wolfram.com/WattsCurve.html
波粒二象性是脈衝函數做Laplace Transform?

Fourier Transform

e的純虛數次方會不斷繞圈。採用單位根的次方ei⋅2π/N

複數 垂直座標  轉換機制  頻率座標  轉換名稱  時間複雜度
一一 一一一一一 一一一一一 一一一一一 一一一一一 一一一一一
數字 實部、虛部 長度、角度 幅長、幅角 極轉換   O(1)
函數 實部、虛部 複數波   強度、相位 傅立葉轉換 O(NlogN)
一個數值,得到極座標表示法
一個數列,得到傅立葉轉換
一個矩陣,得到特徵分解
e^x               輸入相加=輸出相乘
fourier transform 輸入點積=輸出摺積

傅立葉轉換也許可以視作座標系轉換。有些問題在垂直座標很難算,在頻率座標卻很好算。複數乘法變長度相乘、角度相加。數列摺積變數列乘法。

傅立葉轉換是積分變換,可以視作向量空間的座標系。

Eigenvalue與Fourier Transform

循環矩陣,特徵向量是傅立葉矩陣,特徵值是第一個橫條的傅立葉轉換。

http://math.stackexchange.com/questions/25126/

1. 兩個循環矩陣相乘  = 總是可以用fourier matrix作對角化 = 對角線矩陣相乘
  (還是循環矩陣)        (C = F D F⁻¹) (F⁻¹ = Fᵀ)       (對應的eigenvalue相乘)

2. 兩串數列的循環摺積     = fft                         = 對應項相乘

3. 兩個多項式的循環乘法   = 多項式求值,以e^-itn取樣  = 對應的點座標相乘

4. 兩串函數值的循環乘法   = 這是甚麼東西?

5. 兩串分解式的循環乘法   = 這是甚麼東西?
   (2n個根融合成n個根)
tridiagonal and Toeplitz matrix's eigenvalues:
a + 2 sqrt(bc) cos(k pi / (n+1))   for k = 1~n
eigenvectors of fourier matrix is gaussian function
eigenvalues of fourier matrix is +1 -1 +i -i
F^4 = I
傅立葉矩陣的特徵向量是高斯,特徵值是 {-1, +1, -i, +i}
https://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_Fourier_transform#Eigenvalues_and_eigenvectors

循環矩陣的特徵向量是傅立葉,特徵值是傅立葉轉換結果
https://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix#Properties

共伴矩陣的特徵向量是 [1 x^1 x^2 ...] ,特徵值是遞迴方程式的根x。
det = 0 是原本的遞迴方程式。
https://en.wikipedia.org/wiki/Companion_matrix

Fourier Ramanujan Transform

http://perso.ens-lyon.fr/patrick.flandrin/NewOrl2.pdf

複數波改成Ramanujan Sum。

norm從N改成φ(n)。垂直是互質。逆轉換需要定義無限長數列的內積。

Harmonic Series(Under Construction!)

Harmonic Series

Lamber W Function

無限次方變成轉圈。

Riemann ζ Function

Harmonic Series

解析延拓Analytic Continuation

Cesàro summation assigns Grandi's divergent series

http://mathworld.wolfram.com/Zeta-RegularizedProduct.html
https://www.quora.com/Why-is-the-regularized-product-of-all-prime-numbers-equal-to-4-pi-2

p-Adic Number(Under Construction!)

p-Adic Number

https://books.google.com.tw/books?id=ZOfUsvemJDMC&pg=PA241

多項式:以(x-a)當作底數,快速得知f(a)的數值。泰勒展開式。

多項式分式:同上,為了避免除以零,所以移項,(x-a)f(a)。

整數:以任意整數當作底數,可以知道整除效果。

分數:同上,分子與分母互質,分子減去多少可以整除。

Tessellation(Under Construction!)

Tessellation

http://en.wikipedia.org/wiki/Tiling_by_regular_polygons

https://www.zhihu.com/question/34916541/answer/60644653

ICPC 3275

Number Types(Under Construction!)

Number的分類

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_types_of_numbers

自然數   常數
整數    常數的加減         (加常數函數的解)
有理數   常數的加減乘除       (仿射函數的解)
代數數   常數的加減乘除冪根     (多項式函數的解)
拉馬努金和 常數的加減乘除冪根級微?  (解析函數的解?代數函數的解?)
超越數   常數的加減乘除冪根級微指對?(解析函數的解?代數函數的解?)
複數    常數的一切         (所有函數的解,可以為天下母)
加常數函數 變數
仿射函數  變數的加減
多項式函數 變數的加減乘
代數函數  變數的加減乘除冪根
解析函數  變數的加減乘除級      (多項式除法->級數)(多項式級數=積分)
黎曼函數  變數的加減乘除級微指    (尚不知是否為對稱系統,1+2+...=-1/12)
超越函數  變數的加減乘除冪根級微指對?(尚不知是否為封閉系統,π+e)
複變函數  變數的一切         (封閉系統,e^-iπ=-1)