Series(Under Construction!)

Series

1/e^(x^2) sqrt(π)
1/x       ln(x) 發散
1/(x^2)   pi^2 / 6  (離散版本)
1/x!      e         (離散版本)
自然數   常數
整數    常數的加減         (加常數函數的解)
有理數   常數的加減乘除       (仿射函數的解)
代數數   常數的加減乘除冪根     (多項式函數的解)
拉馬努金和 常數的加減乘除冪根級微?  (解析函數的解?代數函數的解?)
超越數   常數的加減乘除冪根級微指對?(解析函數的解?代數函數的解?)
複數    常數的一切         (所有函數的解,可以為天下母)
加常數函數 變數
仿射函數  變數的加減
多項式函數 變數的加減乘
代數函數  變數的加減乘除冪根
解析函數  變數的加減乘除級      (多項式除法->級數)(多項式級數=積分)
黎曼函數  變數的加減乘除級微指    (尚不知是否為對稱系統,1+2+...=-1/12)
超越函數  變數的加減乘除冪根級微指對?(尚不知是否為封閉系統,π+e)
複變函數  變數的一切         (封閉系統,e^-iπ=-1)

Power Series(Sequence to xⁿ)

(2 -5 1 0 4)  <--->  2x⁰ - 5x¹ + 1x² + 0x³ + 4x⁴
(a₀ a₁ a₂ a₃ a₄)  <--->  a₀x⁰ + a₁x¹ + a₂x² + a₃x³ + a₄x⁴

數列與冪級數(多項式)互相轉換!

數列加法與減法=多項式加法與減法。

數列加性摺積與反加性摺積=多項式乘法與除法。

快速演算法是傅立葉轉換、數論轉換。請參考本站文件「Circular Convolution」。

Laurent Series推廣成雙向延伸。Christol's Theorem再推廣成有限域。

Dirichlet Series(Sequence to nˣ)

(2 -5 1 0 4)  <--->  2⋅0ˣ - 5⋅1ˣ + 1⋅2ˣ + 0⋅3ˣ + 4⋅4ˣ
(a₀ a₁ a₂ a₃ a₄)  <--->  a₀0ˣ + a₁1ˣ + a₂2ˣ + a₃3ˣ + a₄4ˣ

數列與Dirichlet級數互相轉換!

數列加法與減法 = Dirichlet級數加法與減法。

數列乘性摺積與反乘性摺積=Dirichlet級數乘法與除法。

除此之外都是懸案。快速演算法也許是篩法。

Continued Fraction

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_continued_fraction_formula
https://math.temple.edu/~yury/calendar/node2.html

冪級數是正向加乘,連分數是反向減除。

冪級數與連分數也許一體兩面,強者歐拉找出了關係式。

演算法是Horner's Rule。

Complex Polynomial(Under Construction!)

Complex Polynomial

複數加法=向量相加。複數乘法=長度相乘角度相加。複數次方=周旋繞行。複數多項式=多個螺旋線疊加。

Taylor Series

泰勒級數:多個螺旋線疊加。

傅立葉級數:多個圓形疊加。

Fourier Series

Arithmetic Cosine Transform
Arithmetic Fourier Transform
首項不除以 sqrt(2)
idct(dct([0,1,2,3,4])) = [2,3,4,5,6]
idct(dct([1,2,3,4,5])) = [4,5,6,7,8]
idct(dct([2,3,4,5,6])) = [6,7,8,9,10]
fixed point of fourier transform: gauss, sqrt(1/|x|)
sqrt(1/|x|) + sqrt(1/|x+5|) ---> flat at [0,5]
http://fourierart.com/
http://mathworld.wolfram.com/Epicycloid.html
http://mathworld.wolfram.com/WattsCurve.html

Complex Function

看來看去好像只有analytic => conformal和e值得一提。

複數微積分
http://www.solitaryroad.com/c606.html

Lamber W Function

無限次方變成轉圈。

Riemann ζ Function

Harmonic Series

p-Adic Number(Under Construction!)

Fractal(Under Construction!)

Fractal

Julia Set
Mandelbrot Set
Dragon Curve
Space-filling Curve
Turtle Graphics
L System
http://www.matrix67.com/blog/archives/6231
http://w2.mat.ucsb.edu/200C/spring_2015/
http://algorithmicbotany.org/papers/
http://www.joesfer.com/?p=46
http://chaos.coa.edu/
http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/ePaperOpenFileX.ashx?autoKey=360
http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Logistic_map_examples_small.gif
http://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory