2D Transformation

以下介紹二維平面的常見動作。

運用C++的複數函式庫，以複數表示二維座標，就能少寫很多程式碼。

// C與C++各有自己的複數函式庫，千萬不要混用了。 // 此處是C++的複數函式庫。 #include <complex> typedef complex<double> Point; #define x real() #define y imag()

Translate

「位移」是直直移動，大小不變。

運用Incremental Method的精神，圖形的位移，分解成線段的位移，分解成點的位移。

點的位移有兩種想法，第一種是座標相加的概念，位移量便是座標差；第二種是向量相加的概念，位移量便是向量差。

雖然第二種想法不太直覺，但是由於向量很強大，還是習慣一下向量吧！

Point p1(2, 3); // 原本的點 Point t(4, 1); // 位移量 Point p2 = p1 + t; // p1位移至p2

Rotate

「旋轉」，先取一個旋轉中心點，旋轉整張圖。

點的旋轉，先把旋轉中心點位移至原點，就容易處理了。

複數相乘等於角度相加、長度相乘。製造一個複數，長度等於一，角度等於旋轉角度，就可以運用複數乘法，完成點的旋轉。

Point p1(5, 7); // 原本的點 Point o(2, 5); // 旋轉中心點 // 製造一個複數，長度等於一，角度等於30度。 double θ = 30.0/360.0 * 2.0*pi; // 逆時針、正30度。 Point pθ(cos(θ), sin(θ)); Point pθ = polar(1, θ); // 同上 // p1以o為中心旋轉30度，旋轉至p2。 Point p2 = (p1 - o) * pθ + o;

Scale

「縮放」，先取一個縮放中心點，縮放整張圖。

點的縮放，先把縮放中心點位移至原點，就容易處理了。

Point p1(5, 7); // 原本的點 Point o(2, 5); // 縮放中心點 // p1以o為中心縮放5倍，縮放至p2。 Point p2 = (p1 - o) * 5.0 + o;

Project

「投影」，先取一條投影線，整張圖垂直投射至線上。

project這個英文單字有「投影」和「計畫」兩種意義，此處講的是「投影」。

點的投影有兩種想法，第一種想法是直線交點的概念，首先求出投影線與其法線，再解聯立方程式；第二種想法是向量內積的概念，首先把投影線位移至原點，就容易處理了。

雖然第二種想法不太直覺，但是由於向量很強大，老話一句，還是習慣一下向量吧！

Point p1(5, 7); // 原本的點 Point pa(1, 2), pb(3, 4); // 投影線 Point p = pb - pa; // 投影向量 // p1投影至直線(pa,pb)，得到p2。 Point p2 = dot(p1 - pa, p) / norm(p) * p + pa;

Reflect

「鏡射」，先取一條對稱線，整張圖沿線翻轉，正面變反面。

reflect這個英文單字有「鏡射」和「反射」兩種意義，此處講的是「鏡射」。

用向量計算，就容易多了。

Point p1(5, 7); // 原本的點 Point pa(1, 2), pb(3, 4); // 投影線 Point p = pb - pa; // 投影向量 // p1鏡射至直線(pa,pb)，得到p2。 Point v1 = dot(p1 - pa, p) / norm(p) * p; Point v2 = v1 - (p1 - pa); // 記得位移 Point p2 = (p1 - pa) + v2 + v2 + pa; // 記得還原 Point p2 = p1 + v2 * 2.0; // 同上

延伸閱讀：Homogeneous Coordinates

上述動作們，可以看成函數，輸入、輸出各是一個數對。

除了位移，其餘動作都是線性變換，可以表示成矩陣乘法。

為了讓位移也可以表示成矩陣乘法，於是發展了「齊次座標」的概念，增加一個維度，使得全部動作都可以表示成矩陣乘法。

有興趣的讀者請參考Computer Graphics相關書籍。

延伸閱讀：Affine

http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_transformation

點線對偶

http://3glab.cs.nthu.edu.tw/~spoon/courses/CS631100/Lecture09_handout.pdf

http://people.ofset.org/~ckhung/b/ma/duality.php

二維平面上的點和線，可以等價地轉換成線和點。主要有兩種轉換方式，一般我們常用的是斜率與截距。

一、點 (a,b) 轉換成直線 y = ax - b
二、點 (a,b) 轉換成直線 ax + by = 1

附帶一提，Hough Transform是把二維座標轉換成極座標。

平面對偶