Functional Equation(Under Construction!)

Function

實數可以運算,函數亦可運算。

函數運算有加減乘除模複合微積散旋代入,變化更多了。

Functional Equation

普通的方程式,已知數、未知數全是實數。「函數方程式」則全是函數。

                d            g(x+2)
∫ f(x) dx + 2 = ―― f(g(x)) + ――――――
                dx            f(x)

函數方程式當中的實數,其實是函數,稱作「常數函數」。

Functional

普通的函數,輸入、輸出全是實數。「泛函數」則全是函數。

                                        d            g(x+2)
L(f(x), g(x), g(x+2)) = ∫ f(x) dx + 2 - ―― f(g(x)) - ――――――
                                        dx            f(x)

簡單來說,「泛函數」就是函數的函數。

此處的functional是一個特別的名詞。我不清楚數學家為何故意讓「泛函數(名詞)」跟「函數的(形容詞)」撞名。

Ordinary Differential Equation(Under Construction!)

範例:古典力學

真實世界的物理現象,物理學家習慣寫成函數方程式。想要用電腦模擬真實世界,設計函數方程式、解函數方程式是必備技能。

比方說,記錄物體所在位置。根據人類目前所知,物體不會分身,不會同時出現在兩個位置,符合函數的概念;物體不會瞬移,不會瞬時出現在遙遠位置,符合連續的概念。因此物體所在位置可以表示成一個連續函數u。

數學家創造了函數、連續,主要是為了符合人類認知。如果影分身之術、飛雷神之術成真,那麼數學家勢必要創造其他數學元件,以符合新認知。

方才的位置,是一維數線上面的位置,是一個數值。位置可以在二維平面、三維空間,而函數輸出就是二維向量、三維向量了。

物理課教過直線運動。位置是一維數線上的位置。位置的變化快慢,稱作速度,符合微分的概念。u′就是速度。

物理課教過等速運動。當速度是5,可以列出等式u′ = 5。大家把5視作一個函數,而非一個實數。

速度也可以忽快忽慢。自訂速度v,可以列出等式u′ = v。

物理課教過等加速度運動。當自由落體,加速度是重力加速度g,g是一個常數約9.8,可以列出等式u″ = g。如果又有空氣阻力f,得到加速度a = f/m,可以列出等式u″ = g + f/m。

加速度也可以不斷變化。當彗星撞地球,加速度是引力加速度g = Gm₁m₂ / r²,G是萬有引力常數約6.7e-11,m₁和m₂是質量,r是距離。地心座標定成0,可以列出等式u″ = Gm₁m₂ / u²。

我們的目標就是解u,知道物體的所在位置。

Differential Equation

「微分方程式」。數學家從微分運算開始著手,因此出現了這個稱呼。又細分為ODE:輸入變數只有一種、PDE:輸入變數超過一種。

大家習慣先試符號解(公式解),再試數值解。詳細流程:查閱工程數學教科書,手工推導符號解,寫成程式碼。然而,大多數時候,函數很複雜,甚至函數不是多項式函數,難以手工推導符號解。何況目前也沒有特別好的演算法,能讓電腦自動推導符號解。最後只好運用下面章節的演算法,求得數值解。

Ordinary Differential Equation

           d
f(x) + 2 = ―― f(x) + 2 g(x)
           dx

f + 2 = f' + 2g   省略x的部分,微分換成撇

大家為了簡潔起見,微分一次兩次三次,標記成f′ f″ f‴,右上角一撇兩撇三撇;或者標記成ḟ f̈ f⃛,上方一點兩點三點。

演算法(Runge-Kutta Method)

一次走一步,每一步從最高次導數遞推到最低次導數。

Euler / Verlet

演算法(Galerkin Method)

假設正確答案是某一套函數基底的線性組合。問題變成解線性方程組。

http://www.sd.rub.de/downloads/Galerkin_method

Partial Differential Equation(Under Construction!)

範例:流體力學

水中的每個位置,都有一個水分子。每個水分子都有速度,符合場的概念。注意到這裡沒有時間軸。水分子的速度可以表示成一個三維向量場u。

水分子往周圍對流,那就是u = Δu。

水分子受重力影響,那就是u″ = g。

Partial Differential Equation

http://www.math.harvard.edu/archive/21a_fall_15/supplements/pde/

http://heath.cs.illinois.edu/scicomp/notes/index.html

Laplace Equation    Δf = 0
Poisson Equation    Δf = ∇g
Heat Equation       Δf = k df/dt
Wave Equation       Δf = k d²f/dt²
Helmholtz Equation  Δf = λf (Vibration Modes)(Dirichlet Eigenvalue)
Hamilton-Jacobi-Bellman Equation

解方程式,是將等式重新整理成函數的格式,求根、求不動點、求特徵點。解函數方程式,如法炮製,改為求特徵函數。

經典的微分方程,特徵函數通常是複數螺旋線e^it。因此任意函數的微分,可以寫成特徵函數的線性組合。

UVa 199

Integral Equation(Under Construction!)

Integral Equation

Gauss quadrature
Ewald summation
http://homerreid.dyndns.org/teaching/18.330/Notes/EwaldSummation.pdf
MCMC integration
1/e^(x^2) sqrt(pi)
1/x       ln(x) 發散
1/(x^2)   pi^2 / 6  (離散版本)
1/x!      e         (離散版本)