Function(Under Construction!)

Function

finite step function ---->  cycle finding
infinite step function ---->  dynamic system / fractal

Recursion

一階微分 = 取前一個時刻
二階微分 = 取前兩個時刻
recurrence = 取很多個時刻

嚴格來說不是時刻,而是對什麼變數微分,可以是時間/空間/兩者都有
是時間的叫動態系統
是空間的叫做碎形
兩者都有的例如波方程、量子力學

markov process就是引入機率的動態系統 函數值是連續的
markov chain就是引入機率的動態系統 函數值是離散的

state是某個時刻的函數值  steady state是保持不動的函數值

(eigenfunction跟steady state有甚麼關係?好像沒有關係?)

stationary state = 變數兩者都有的 eigenfunction = eigenmode

解recurrence = 生成函數/特徵方程式 = 頻域處理 (!?!?!?) = eigenfunction???

root of 特徵方程式 = steady state (X)
= companion matrix det=0 = eigenvalue of companion matrix

Dynamical System(Under Construction!)

Dynamical System

Lotka-Volterra Equation           生物系統
Lorenz Equation                   混沌系統
Turing Pattern
Gray-Scott Pattern   https://pmneila.github.io/jsexp/grayscott/
Conway's Game of Life
k-x k-y  bifurcation diagram  穩態變化
bifurcation diagram:遞迴公式,調整係數,觀察穩態。
bifurcation point:穩態中止之處。
Hopf bifurcation:穩態與循環交界之處。
stable region:穩態與循環之係數範圍。
Nodal Set:特徵函數,高度為零的等高線。
Nullcline:梯度場,向量為零的等高線。
Streamline:梯度場的向量的切線方向連線;勢能場的等高線的垂直方向。
isocline:導數相等之處。
nullcline:導數為零之處。
steady state:導數皆為零之處。走不動而停下來了。
stable:停在穩態、不斷循環。
unstable:走向無限。

電力線(流線)是另一種製圖方式,電流大小是電力線多寡,電流方向是電力線走向。

Fractal(Under Construction!)

Fractal

數學密碼:奇妙的幾何形狀
The Code: Shapes
http://multimedia.lib.ntu.edu.tw/Book?BMID=9583#

動手玩碎形
http://www.math.mcgill.ca/jakobson/courses/math480-19-fractals.html
https://www.cc.gatech.edu/~turk/bio_sim/index.html
Julia Set
Mandelbrot Set
Dragon Curve
Space-filling Curve
Turtle Graphics
L System
http://www.matrix67.com/blog/archives/6231
http://w2.mat.ucsb.edu/200C/spring_2015/
http://algorithmicbotany.org/papers/
http://www.joesfer.com/?p=46
http://chaos.coa.edu/
http://mathcenter.ck.tp.edu.tw/Resources/Ctrl/ePaper/ePaperOpenFileX.ashx?autoKey=360
http://en.wikipedia.org/wiki/Logistic_map
http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Logistic_map_examples_small.gif
http://en.wikipedia.org/wiki/Bifurcation_theory