Feasible s-t Flow

Feasible s-t Flow(s-t Flow)

「可行流」是符合容量限制的流,流量最低是零,流量最高是最大流流量。「可行流」與「流」的定義完全一樣,我們常常省略「可行」兩個字。差別在於多了「可行」之後,我們專注於「找到一個流」,而非「流量是多少」。

容量下限(流量下限)

先前只討論容量上限,未討論容量下限。容量下限大於零,水流有時無法順利的從源點流到匯點。

流量是零,也能滿足容量下限:幽靈循環水流

一般來說,源點必須流出一些水,以滿足容量下限。入情入理。

然而有時候,容量下限形成了環。源點沒有流出任何水,也能滿足容量下限:建立流量極小的一道水流,不斷繞環,以滿足容量下限。導致「憑空出現循環水流」的弔詭現象。

因此數學家轉為討論「循環流」,於後面章節「Flow」介紹。

或者,假設容量下限不會形成環。

Minimum s-t Flow

Minimum s-t Flow

「最小流」是流量最小的流。

Minimum Cost Maximum s-t Flow

Minimum Cost Maximum s-t Flow

每一條管線,除了有容量限制,還有成本(費率)。成本可以是正值(付費)、負值(補貼)、零(沒事)。水流流過管線,必須考慮費用,儘量減少開銷。

一、一段水流流過一條管線的成本:邊的流量乘以成本。

二、一道水流從源點到匯點的成本:路徑上每一條邊,流量乘以成本,求總和。

三、一個流的成本:圖上每一條邊,流量乘以成本,求總和。

「最小成本最大流」。成本最小的最大流,可能有許多個。

UVa 10594 ICPC 5095 3562 8048

流量是零,也能降低總成本:幽靈循環水流

一般來說,源點必須流出一些水,經過負成本邊,形成負成本的擴充路徑,以降低總成本。入情入理。

然而有時候,負成本邊形成了環。源點沒有流出任何水,也能降低成本:建立流量極小的一道水流,不斷繞環,以降低總成本。

負成本環,導致「憑空出現循環水流」的弔詭現象。

因此數學家轉為討論「循環流」,於後面章節「Flow」介紹。

或者,我們假設圖上沒有負成本環。

Minimum Cost Maximum s-t Flow: Cycle Canceling Algorithm

演算法

圖上不可有負成本環,避免幽靈循環水流。

一、先找一個最大流。
二、在剩餘網路上,不斷找負成本環,建立迴流降低成本。
  直到找不到負成本環為止,即是最小成本最大流。

在一個最大流當中,建立一條封閉的迴流,不會影響總流量,也不會違反流量守恆的規則,雖然會浪費容量空間,但是有機會減少總成本。事實上可以證明,剩餘網路沒有負成本環,即是最小成本最大流,證明省略。

尋找負成本環

有三種方式!

負環:運用Label Correcting Algorithm。整個演算法過程中,最多出現C個負成本環,C是最大的管線容量上限;時間複雜度為O(VEC),是偽多項式時間。

最小環:照理說是最理想的方式,可以較快達到最小成本最大流。然而,求最小環是NP-complete問題,時間複雜度是指數時間。

最小平均值環:意外的是個不錯的選擇。整個演算法過程中,最多出現O(VE²logV)個最小平均值環;時間複雜度為O(V²E³logV),是多項式時間。證明省略。

Minimum Cost Maximum s-t Flow: Successive Shortest Path Algorithm

演算法

圖上不可有負成本環,避免幽靈循環水流。

仿照Ford-Fulkerson Algorithm,不斷尋找成本最小的擴充路徑。證明省略。

一開始沒有負成本環,往後就沒有負成本環。

一、一開始的剩餘網路沒有負成本環。

二、成本最小的擴充路徑,擴充之後讓剩餘網路增加了逆向邊(成本隨之變號,增加了負成本邊),但是剩餘網路仍舊沒有負成本環。證明省略。

如此一來,可以確保剩餘網路隨時都能實施最短路徑演算法。

尋找成本最小的擴充路徑

溯洄沖減後,剩餘網路多出許多逆向的負成本邊,因此必須採用允許負邊的最短路徑演算法,例如Label Correcting Algorithm、Floyd-Warshall Algorithm。

或者利用Johnson's Algorithm的調整權重手法,將負邊調整為非負邊。此時成本最小的擴充路徑就會變成零成本邊,擴充之後的剩餘網路,就不會多出逆向的負成本邊,而是多出逆向的零成本邊!如此一來,就可採用不允許負邊的Dijkstra's Algorithm,降低時間複雜度。

一開始圖上可能有負成本邊,預先實施一次Label Correcting Algorithm調整權重,往後就可持續使用Dijkstra's Algorithm了。每次實施Dijkstra's Algorithm之後,就馬上調整權重。

一、用Label Correcting Algorithm調整權重,讓每條邊的成本為非負值。
二、不斷尋找成本最小的擴充路徑,直到找不到為止:
 甲、用Dijkstra's Algorithm尋找成本最小的擴充路徑。
 乙、調整權重,讓每條邊的成本為非負值。
 丙、擴充流量。

找一條擴充路徑需時O(V²),最多找O(F)條,時間複雜度為O(V²F),是偽多項式時間。

找出一個最小成本最大流+流量+成本

Minimum Cost Maximum s-t Flow: Primal-Dual Algorithm

演算法

圖上不可有負成本環,避免幽靈循環水流。

仿照Blocking Flow Algorithm,每回合找到全部的成本最小的擴充路徑。

利用最短路徑長度,調整圖上所有邊的權重成為非負數之後,此時最短路徑上的邊就是零成本邊。在零成本邊所構成的圖當中,找最大流,便可以一次找到全部的成本最小的擴充路徑。

時間複雜度我也不知道。

Flow

註記

Flow與s-t Flow是兩個不同的概念。然而古代人當初定義問題時,卻將兩者都稱作Flow,從此之後便混淆不清了。

Cut與s-t Cut亦有類似情況。古代人當初沒有Cut的概念,將s-t Cut直接稱作Cut。不過自從有人發表Cut的演算法之後,眾人便開始注重用詞了。

以下章節,Flow譯作「流」或「循環流」,s-t Flow譯作「源匯流」。

Flow

從現在起,水流不再從源點流到匯點,水流改為不斷循環。

要計算總流量,可將水流分解成數個環,以環流量的總和作為總流量。每次挑一條有水流的邊開始尋找環,最多分解成E個環。

Supply / Demand

「供點」有水注入、「需點」有水洩出,彷彿源點與匯點。圖上可以有多個供點與需點,供水量總和必須等於需水量總和,才有機會形成可行流。

圖上每一點皆有供需水量:supply的供需水量為正值,該點流出多於流入;demand的供需水量為負值,該點流入多於流出;其他的點的供需水量為零,流入等於流出。

供需水量 = 流出水量 - 流入水量

導入supply與demand之後,總流量的定義就不明確了。這裡姑且定義成:supply的總和,再加上不受supply與demand影響的循環流流量。

最大流最小割定理、可行流定理

導入水流流量:任意一個割,甲側流往乙側的水量總和,等於乙側流往甲側的水量總和。

導入容量上限:任意一個割,甲側流往乙側的水量總和,小於等於甲側到乙側的容量總和。最大流流量,小於等於任何一個「管線容量的最小s-t割」!

導入供需水量:任意一個割,甲側的供需水量總和,必須小於等於甲側到乙側的容量總和,才能形成可行流。

導入容量下限:任意一個割,甲側到乙側的容量下限總和,必須小於等於甲側到乙側的容量上限總和、也要小於等於乙側到甲側的容量上限總和,才能形成可行流。

容量下限變成零

有向邊的容量下限,得移轉至supply與demand。

預先流水,水量等於容量下限:

必須記錄每條邊的預流水量與耗費成本,以利之後還原。

容量上限變成無限大

其實沒有必要移除容量上限──最大流演算法皆支援容量上限。不過還是介紹一下吧。

移除容量下限後,可以進一步移除容量上限。容量上限添加至終點,然後回沖:

移除容量上限後,變成二分圖,得以設計更簡潔的資料結構與演算法。

負成本變成正成本

運用溯洄沖減,可以把負成本變成正成本。

預先流水,水量等於容量上限:

必須記錄每條邊的預流水量和耗費成本,以利之後還原。

無向邊變成有向邊

無向邊得同時雙向流動。一條無向邊可以改為兩條方向相反的有向邊,可是必須共用容量上下限。

成本非負、沒有容量下限:為了降低成本,來回水流可以變成單向水流。上述兩條方向相反的有向邊,大可不必共用容量上限,宛如普通的有向邊。

成本非負、擁有容量下限:預先在無向邊上來回流動,滿足容量下限。流量是容量下限的一半,可以是0.5。如果流量只能是整數,則可以類比為0/1 Knapsack Problem,屬於NP-complete問題。

成本為負:同上。流量是實數,就來回流動。流量是整數,NP-Complete。

歸約

Feasible s-t Flow -> Feasible Flow -> Maximum s-t Flow
導入成本,依然如此。

可行源匯流化作可行循環流。匯點到源點增加一條管線,容量上限無限大(圖上所有邊的容量上限總和),成本無限小。

可行循環流化作最大源匯流。新增源點與匯點,源點接至supply,容量上限為供水量;demand接至匯點,容量上限為需水量。然後嘗試求最大源匯流,若源點管線與匯點管線皆滿溢,則有可行循環流,反之則無。拆除新增管線,最大源匯流就變成可行循環流。

總結

流的問題總是可以簡化成:有容量上限、無容量下限、成本非負、有向邊,許多supply和demand。

無論流動方式是循環流、源匯流,無論最佳化目標是最大流、最小流、可行流,都可以歸約成Minimum Cost Maximum s-t Flow。

UVa 11647 1259 ICPC 3787 4722 5131

Feasible Flow

「可行流」。符合供需水量、容量上下限的流。

直覺的方式,就是歸約。進階的方式,就是瞭解歸約過程之後,直接以原圖實施計算,不歸約、不改圖。

承襲Maximum s-t Flow演算法,額外考慮flow、supply、demand等新概念。

不斷尋找起點為supply、終點為demand的擴充路徑,進行擴充後就根據水量減損supply、增益demand,直到圖上沒有supply與demand為止。

Maximum Flow

「最大流」。流量最大的可行流。

一、首先隨便找出一個可行流,然後不斷找擴充環。

根據最大流最小割定理,剩餘網路沒有擴充環,即是最大流。

二、窮舉所有兩點之間容量s-t割,取最小值。【尚待確認】

Minimum Flow

「最小流」。流量最小的可行流。

一、堅持使用擴充路徑而不是擴充走道,即得最小流。【尚待確認】

二、首先隨便找出一個可行流,然後不斷消去擴充環。【尚待確認】

我找不到任何有關最小流的正確性證明!

Minimum Cost Flow

「最小成本流」。成本最小的可行流。

承襲Minimum Cost Maximum s-t Flow演算法。

Cycle Canceling Algorithm:先找到任意一個可行流,再以負成本環進行擴充。

Successive Shortest Path Algorithm與Primal-Dual Algorithm:不斷尋找起點為excess、終點為deflict、成本最小的擴充路徑,直到所有excess與deflict成為零。如果excess與deflict沒有同時成為零,則沒有可行流。

Excess / Deficit

「餘水點」水量超出平衡,「缺水點」水量低於平衡。當圖上有excess與deficit,表示流量不平衡,不是可行流。

餘缺水量 = 當前流入水量 - 當前流出水量 + 供需水量 

Multi-commodity Flow

k Vertex-disjoint Paths
k Edge-disjoint Paths

給定k組起點與終點,找齊k條路徑,點(邊)皆相異;除了起點與終點。可能找不到。

Flow問題,源點與匯點不必對應,P問題。

此問題,起點與終點必須對應,NP-complete問題。

差別在於交叉路徑。Flow問題,運用溯洄沖減,交叉路徑總是變成不交叉路徑。此問題則不然。

UVa 11301

k Vertex-disjoint s-t Paths
k Edge-disjoint s-t Paths

給定一組起點與終點,找出k條路徑,點(邊)皆相異;除了起點與終點。起點都是同一點、終點都是同一點,無所謂對不對應。可能找不到。

解法是Maximum s-t Flow。

UVa 10806 ICPC 4259 4271

進階版本,這k條路徑的權重總和必須最小。

解法是Minimum Cost Maximum s-t Flow。

UVa 11823 1236 ICPC 3570

Multi-commodity Flow

指定多組供點、需點,必須對應。

流量是實數,P問題。流量是整數,NP-Complete問題,大家改為研究速度飛快的近似演算法。

http://arxiv.org/pdf/1304.2338v1.pdf

http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/pubs/partitioning.pdf

源匯流必須避免幽靈循環水流,限制圖上沒有容量下限環、沒有負成本環。為求方便,大家習慣討論循環流。