Disjoint Sets

「互斥集」的意思是一堆集合們，大家擁有的元素都不相同，也就是說這些集合們之間都沒有交集。

A = {1, 3, 7, 8}
B = {4, 5}
C = {2}
A、B、C構成Disjoint sets。

D = {1, 2, 3}
A、B、C、D不是Disjoint sets。

舉例來說，有十個學生，要製作分組報告，分成四組，這四組就是Disjoint sets。

甲君、乙君、丙君、丁君、戊君、己君、庚君、辛君、壬君、癸君
共十人，分成了四組：

第一組：甲君、丙君、辛君、壬君
第二組：乙君
第三組：丁君、戊君、己君
第四組：庚君、癸君

這四組構成Disjoint sets。

union、find、split

由於集合們都沒有交集，因此諸如交集運算、差集運算等等結果很明顯的運算，就不必特別說明。這裡只談union、find、split這三個運算：union就是將兩個集合做聯集，合併成一個集合。find就是找找看一個元素是在哪個集合裡面。split就是把一個集合拆成兩個集合。

【以下暫不介紹split，俟編者讀過書後再來寫。】

簡單的資料結構

讓一條int陣列的第x格代表第x人，格子裡填上這個人所屬的團體編號。若兩個人在同一團體，他們的格子裡就會有相同的團體編號。這是很直觀的方式。

int g[10]; // 每個人所屬的團體編號 g[0] = 0; // 第 0 人在第 0 團 g[1] = 0; // 第 1 人在第 0 團 g[2] = 1; // 第 2 人在第 1 團 … g[9] = 7; // 第 9 人在第 7 團

初始化

一開始大家還沒開始分團的時候，其實可以想做是：每個人都不同團，每個人都是自己一人一團。有個方便的初始值設定方法，就是將第x格的值設成x，這樣每個人就都是不同團體的了。

void initialize() { for (int x=0; x<10; x++) g[x] = x; }

Union: 兩個人想合併自己所屬團體

現在有兩團想要合併成一團，交涉的人分別是x和y。x y想要合併成一團，只要把所有與x y同團的人，都填上同一個團體編號就行了。可以找x y其中一團的團體編號，作為新的團體編號，這樣就不需要額外的編號了。（這裡我們不考慮會不會有人不服氣的問題。）

void union(int x, int y) { // 要是 x y 不同團，才設成同團，以節省時間。 if (g[x] != g[y]) { int gmax = max(g[x], g[y]); // 團體編號比較大那個 int gmin = min(g[x], g[y]); // 團體編號比較小那個 // 把所有與 x y 同團的人，都填上同一個團體編號。 for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gmax) g[i] = gmin; } } void union(int x, int y) { if (g[x] == g[y]) return; x = g[x]; y = g[y]; for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == x) g[i] = y; }

Find: 找出一個人在哪一團？

直接看團體編號即可。

int find(int x) { return g[x]; }

Equivalent Relation: 兩個人是否同團？

直接看團體編號即可。

bool equivlence(int x, int y) { return g[x] == g[y]; }

Number of Sets: 全部總共有幾個團體？

兩團合併成一團後，總團體數就會減少一團。所以只要修改一下union的程式碼就可以了。

int groups = 10; // 團體數 void union(int x, int y) { if (g[x] == g[y]) return; groups--; // 兩團合併成一團，總團體數就會減少一團。 int gmax = max(g[x], g[y]), gmin = min(g[x], g[y]); for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gmax) g[i] = gmin; }

Cardinality of a Set: 一個團體總共有幾個人？

一個一個數是差勁的方法：

// 計算出團體編號為 gn 的人數 int cardinality(int gn) { int people = 0; for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gn) people++; return people; }

比較好的方法是：另外開一條陣列去紀錄每個團體的人數吧！陣列第x格填入團體編號為x的人數。要找出一個團體的人數，就直接從陣列裡面找。

以團體的角度來看：兩團合併成一團後，團體人數就會改變。以人的角度來看：當一個人所屬的團體被改變時，就調整人數。所以只要修改一下union的程式碼就可以了。

int n[10]; // 每個團體的人數 void initialize() { for (int i=0; i<10; i++) { g[i] = i; n[i] = 1; // 團體編號從 0 到 9，每團都是一個人。 } } void union(int x, int y) { if (g[x] == g[y]) return; groups--; int gmax = max(g[x], g[y]), gmin = min(g[x], g[y]); for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gmax) { g[i] = gmin; n[gmax]--; // 團體編號為 gmax 的人數減少一人 n[gmin]++; // 團體編號為 gmin 的人數增加一人 } } int cardinality(int gn) { return n[gn]; }

根據團體的人數多寡來做union

合併團體時，將小的團體併入大的團體，可以節省一點點設定團體和增減人數所需的時間。

void union(int x, int y) { if (g[x] == g[y]) return; groups--; int gmax = x, gmin = y; if (n[x] > n[y]) swap(gmax, gmin); for (int i=0; i<10; i++) if (g[i] == gmax) { g[i] = gmin; n[gmax]--; n[gmin]++; } }

Singleton Set: 團體是否合併過？

自己一個人一組，沒有union過。

bool singleton(int x) { return member[x] == 1; }

時間複雜度

union為O(N)，find、equivalence、cardinality、singleton為O(1)。

如果有N個人，全部的人都union過一遍，每次union要花O(N)時間，總共是花O(N^2)時間。

空間複雜度

如果有N個人，就需要一條N格的陣列，為O(N)。

UVa 10608

Disjoint-set Linked Lists

和Set Linked Lists的方式是一樣的。【待補文字】

Disjoint-set Forest

讓一條int陣列的第x格代表第x人──不過，格子裡改成填上x的老大是誰：

int g[10]; // 紀錄每個人的老大 g[0] = 0; // 第 0 人的老大是第 0 人 g[1] = 0; // 第 1 人的老大是第 0 人 g[2] = 1; // 第 2 人在老大是第 1 人 … g[9] = 3; // 第 9 人在老大是第 8 人

有一點像是老鼠會，也可以看作是圖論所提到的有根樹（rooted tree）。以萬流歸宗的方式，來代表這個人是團體的大頭目。團體的所有成員，他們往上追溯之後，會是同一個頭目。一個團體中，也只會有一個頭目，由他來支配團體、做為團體的代表。

一個團體就像是一棵分支很複雜的有根樹。這些團體構成了一叢森林，故名Disjoint-set Forest。

各位可能會有一個疑問：一個團體之中，每個人都有一個頭目，那麼頭目的老大是誰呢？可以姑且設定成自己：

初始化

一開始大家還沒開始分團的時候，其實可以想做是：每個人都不同團，每個人都是自己一人一團，而且自己當頭目。根據上述的設定方是，要將第x格的值設成x，這樣每個人就都是不同團體的頭目了。

int p[10]; void initialize() { for (int x=0; x<10; x++) p[x] = x; }

Find: 找出一個人在哪一團？

接下來談談頭目吧。頭目在一個團體之中扮演舉足輕重的角色，一個團體只會有一個頭目，所以可以用頭目做為一個團體的代表。

int find(int x) { // 當 x 不是頭目，就繼續追本溯源，直到找到頭目。 while (x != p[x]) x = p[x]; return x; } int find(int x) { return x == p[x] ? x : find(p[x]); }

find的時候可以順便把遇到的人，將其老大都設為頭目。如此一來下次find的時候就會變更快了。

int find(int x) { return x == p[x] ? x : (p[x] = find(p[x])); }

Union: 兩個人想合併自己所屬團體

目標是將x y兩個團體做合併，並重新選出一個頭目。最簡單的方式是：讓x的頭目帶著他所有小弟，投靠y團體的隨便一個人之下，如此一來兩個團體就擁有共同的頭目了，也依然保持著老鼠會的架構。

void union(int x, int y) { p[find(x)] = y; }

union的時候，直接投靠對方的老大，可以讓樹的深度增加最少。如此一來下次find的時候就會變更快了。

void union(int x, int y) { p[find(x)] = find(y); }

實做小叮嚀：union要確保投奔的人是頭目，投奔後頭目只有一個。另外也要避免同團體的人互相設定彼此是頭目，否則find會無限循環。

Equivalent Relation: 兩個人是否同團？

同一個團體中的成員，他們的頭目都是同一個人。要看兩個人是不是同一團，看看他們的頭目是不是同一人就行了。

bool equivalence(int x, int y) { return find(x) == find(y); }

Number of Sets: 全部總共有幾個團體？

兩團合併成一團後，總團體數就會減少一團。所以只要修改一下union的程式碼就可以了。

int groups = 10; // 團體數 void union(int x, int y) { x = find(x); y = find(y); if (x == y) return; groups--; // 兩團合併成一團，總團體數就會減少一團。 p[x] = y; }

Cardinality of a Set: 一個團體總共有幾個人？

先前提到頭目可以支配、代表一個團體，所以把焦點放在頭目上吧。嘗試開一個陣列來記錄頭目帶領的人數，n[頭目] = 頭目帶領的人數。

以團體的角度來看：兩團合併成一團後，團體人數就會改變。以人的角度來看：當一個人所屬的團體被改變時，就調整人數。所以只要修改一下union的程式碼就可以了。

int n[10]; // 每個頭目帶領的人數 void initialize() { for (int i=0; i<10; i++) { g[i] = i; n[i] = 1; // 頭目有第 0 到第 9 人，每團都是一個人。 } } void union(int x, int y) { x = find(x); y = find(y); if (x == y) return; groups--; n[y] += n[x]; // 新頭目吸收人數 n[x] = 0; // 舊頭目不再帶領人 p[x] = y; } int cardinality(int x) { return n[find(x)]; }

Singleton Set: 團體是否合併過？

自己一個人一組，沒有union過。

bool singleton(int x) { return n[find(x)] == 1; }

時間複雜度

union、find、singleton、equivalence的均攤時間是O(α(N))，cardinality為O(1)。其中α(N)是Ackermann function f(N,N)的反函數。我不會證。【待補文字】

空間複雜度

如果有N個人，就需要一條N格的陣列，為O(N)。

UVa 793 879 10158 10505 10583 10608 10685 11987

Empty Set: 空集合

之前我們都未處理空集合。現在我們要改良原本的方法，讓它可以處理空集合，而效率仍然保持一樣。

先將資料結構做點改變。現在將陣列的第0格當作是一個空集合，不代表任何人。總人數如果有100人，那麼就要開101格的陣列。第0格是空集合，第1格到第100格，分別代表著100個人。

現在既然有了空集合，便可將頭目的老大設定為空集合，更具義理。也就是說，初始化時要將陣列的初始值都改成0。

int g[10+1]; void initialize() { for (int x=0; x<10+1; x++) p[x] = 0; } bool empty(int x) { return x == 0; }

多了空集合，就要另外考慮空集合做聯集時的影響。不管什麼集合，只要和空集合作聯集，集合都不會改變。所以，凡是遇到空集合，就不必做聯集了。

void union(int x, int y) { x = find(x); y = find(y); if (x == y || x == 0 || y == 0) return; p[x] = y; }

其他部分大致都不變，就不另外說明了。